Elektronický vzdelávací materiál

Moivrova veta

Moivrovu vetu môžeme použiť na vyjadrenie sínusu a kosínusu násobkov uhla pomocou sínusu a kosínusu tohto uhla
Moivrova veta je dôležitý vzorec v komplexnej analýze a trigonometrii. Hovorí, že pre každé reálne číslo x a každé celé číslo n platí:
(cos x + i sin x)ⁿ = cos nx + i sin nx
Táto veta umožňuje jednoduché umocňovanie komplexných čísel v polárnej forme.

Ako to funguje?

Ak máme komplexné číslo v tvare:
z=r(cosθ+isinθ)
tak jeho umocnenie na n-tú mocninu sa dá vyjadriť ako:
zⁿ=rⁿ(cos(nθ)+isin(nθ))

Príklad

Napríklad, ak máme 𝑧 = cos45∘ + 𝑖 sin45∘ a chceme ho umocniť na 3:
cos135∘ + i sin135∘
Toto sa často využíva v teórii elektrických obvodov, kvantovej mechanike a počítaní odmocnín komplexných čísel.